Cómo determinar la medida de un ángulo cuyo vértice está en un círculo

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Por Mark Ryan

De los tres lugares en los que el vértice de un ángulo puede estar en relación con un círculo (dentro, dentro o fuera del círculo), los dos tipos de ángulos que tienen su vértice en un círculo -ángulos inscritos y ángulos de cuerda tangencial – son los que surgen en la mayoría de los problemas y, por lo tanto, son los más importantes.

  • Ángulo inscrito: Un ángulo inscrito, como el ángulo BCD de la figura de arriba a la izquierda, es un ángulo cuyo vértice se encuentra sobre un círculo y cuyos lados son dos cuerdas del círculo.
  • Ángulo de la cuerda tangente: Un ángulo de cuerda tangente, como el ángulo JKL en la figura de arriba a la derecha, es un ángulo cuyo vértice se encuentra sobre un círculo y cuyos lados son una tangente y una cuerda del círculo.

Medida de un ángulo en un círculo: La medida de un ángulo inscrito o de un ángulo de cuerda tangente es la mitad de la medida de su arco interceptado.

Por ejemplo, en la figura anterior,

Asegúrese de recordar la simple idea de que un ángulo en un círculo es la mitad de la medida del arco que intercepta (o si lo mira al revés, la medida del arco es el doble del ángulo). Si olvidas cuál es la mitad de cuál, prueba esto: Dibuje un boceto rápido de un círculo con un arco de 90° (un cuarto del círculo) y un ángulo inscrito que intercepta el arco de 90°. Verás de inmediato que el ángulo es inferior a 90°, lo que te indica que el ángulo es la mitad del arco y no al revés.

Ángulos congruentes en un círculo:

  • Si dos ángulos inscritos o de cuerda tangente interceptan el mismo arco, entonces son congruentes (ver la siguiente figura a la izquierda).
  • Si dos ángulos inscritos o de cuerda tangente interceptan arcos congruentes, entonces son congruentes (ver la siguiente figura a la derecha).

Es hora de ver estas ideas en acción.

Utilizando la figura anterior, resuelva el siguiente problema:

La clave de este problema es usar la fórmula del ángulo inscrito una y otra vez. Recuerde – el ángulo es la mitad del arco; el arco es el doble del ángulo.

Tienes las medidas de las tres primeras: 110°, 40° y 120° respectivamente. Eso suma hasta 270°.

Nota: Esta idea del triángulo también le ofrece una buena manera de comprobar sus resultados: ¿los ángulos suman hasta 180°?

Esto suma hasta 180°, por lo que se comprueba, lo que lleva al siguiente consejo.

Siempre que sea posible, revise sus respuestas con un método que sea diferente del método de solución original. Esta es una revisión mucho más efectiva de sus resultados que simplemente revisar su trabajo por segunda vez en busca de errores.

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