Cómo determinar las velocidades máxima y mínima de los objetos en movimiento

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Por Mark Ryan

Uno de los usos más prácticos de la diferenciación es encontrar los valores máximos o mínimos de una función del mundo real, por ejemplo, las velocidades máxima y mínima de un objeto en movimiento.

Puedes pensar en la velocidad como la versión más técnica de la velocidad.

Aquí hay un ejemplo. Un yoyó se mueve hacia arriba y hacia abajo. Su altura sobre el suelo, en función del tiempo, viene dada por la función H(t) = t3 – 6t2 + 5t + 30, donde t es en segundos y H(t) es en pulgadas. A t = 0, el yoyó está a 30 pulgadas del suelo, y después de 4 segundos, está a una altura de 18 pulgadas, como se muestra en esta figura.

La altura del yoyó, de 0 a 4 segundos.

Para determinar la distancia total que recorre el yoyó, es necesario sumar las distancias recorridas en cada una de las etapas del viaje del yoyó: la etapa de subida, la etapa de bajada y la segunda etapa de subida.

Primero, el yoyó sube de una altura de 30 a 31,1 pulgadas (donde se encuentra el primer punto de giro). Esa es una distancia de aproximadamente 1.1 pulgadas. A continuación, baja de aproximadamente 31,1 a aproximadamente 16,9 (la altura del segundo punto de inflexión). Esa es una distancia de 31.1 menos 16.9, o cerca de 14.2 pulgadas. Finalmente, el yoyó sube de nuevo de unas 16,9 pulgadas a su altura final de 18 pulgadas. Eso son otras 1.1 pulgadas. Sume estas tres distancias para obtener la distancia total recorrida:

Nota: Compara esta respuesta con el desplazamiento total de -12, que obtienes al restar la altura final del yoyó, 18 pulgadas, de su altura inicial de 30 pulgadas. El desplazamiento es negativo porque el movimiento neto es descendente. Y la cantidad positiva de desplazamiento (12) es menor que la distancia recorrida de 16.4, ya que con el desplazamiento las piernas superiores del yoyó cancelan parte de la distancia de la pierna inferior. Mira las matemáticas:

La velocidad media del yoyó viene dada por la distancia total recorrida dividida por el tiempo transcurrido. Así,

Supongamos que usted determina que la velocidad máxima del yoyó es de 5 pulgadas por segundo, y su velocidad mínima es de -7 pulgadas por segundo. Una velocidad de -7 es una velocidad de 7, así que esa es la velocidad máxima del yoyó. Su velocidad mínima de cero se produce en los dos puntos de giro.

Una buena manera de analizar la velocidad máxima y mínima es considerar la función de velocidad y su gráfico. (O, si eres un glotón para el castigo, echa un vistazo a la siguiente jerga.) La velocidad es igual al valor absoluto de la velocidad.

La velocidad, V(t), es la derivada de la posición (altura, en este problema). Así:

Así que, para el problema del yoyó, la función de velocidad,

Compruebe el gráfico de S(t) en la siguiente figura.

S(t)»/>La función de velocidad del yoyó S(t)

Mirando este gráfico, es fácil ver que la velocidad máxima del yoyó es de t = 2

.

y que la velocidad mínima es cero en las dos intersecciones X.

Velocidad mínima y máxima: Para una función de velocidad continua, la velocidad mínima es cero cuando las velocidades máxima y mínima son de signos opuestos o cuando una de ellas es cero. Cuando las velocidades máxima y mínima son ambas positivas o negativas, entonces la velocidad mínima es el menor de los valores absolutos de las velocidades máxima y mínima. En todos los casos, la velocidad máxima es la mayor de los valores absolutos de las velocidades máxima y mínima. ¿Es eso un bocado o qué?

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