Cómo determinar si una serie alterna converge o diverge

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Una serie alterna es una serie donde los términos alternan entre positivo y negativo. Se puede decir que una serie alterna converge si se cumplen dos condiciones:

  1. Su enésimo término converge a cero.
  2. Sus términos no aumentan – en otras palabras, cada término es más pequeño o igual que su predecesor (ignorando los signos menos).

Usando esta sencilla prueba, usted puede fácilmente mostrar que muchas series alternas son convergentes. Los términos sólo tienen que converger a cero y volverse cada vez más pequeños (rara vez permanecen iguales). La serie armónica alterna converge con esta prueba:

Al igual que las dos series siguientes:

La prueba de series alternas sólo puede indicar que una serie alterna en sí misma converge. La prueba no dice nada acerca de la serie de términos positivos. En otras palabras, la prueba no puede decir si una serie es absolutamente convergente o condicionalmente convergente. Para responder a esa pregunta, usted debe investigar la serie positiva con una prueba diferente. (Si la serie alterna es convergente tal como es, debe ser absoluta o condicionalmente convergente; es sólo que no se puede determinar cuál es a menos que se pueda averiguar si la serie de términos positivos converge o no).

Ahora intente el siguiente problema. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series. Si es convergente, determinar si la convergencia es condicional o absoluta.

  1. Compruebe que el enésimo término converge a cero. compruebe siempre el enésimo término primero porque si no converge a cero, está hecho – tanto la serie alterna como la serie positiva divergerán. Tenga en cuenta que la prueba de divergencia del enésimo término se aplica tanto a las series alternas como a las series positivas.
  2. Compruebe que los términos disminuyen o se mantienen iguales (ignorando los signos menos). Esto es negativo para todos los x ≥ 3 (porque el registro natural de cualquier cosa 3 o superior es más de 1 y x-cuadrado, por supuesto, es siempre positivo), así que la derivada y por lo tanto la pendiente de la función son negativas, y por lo tanto la función está disminuyendo. Finalmente, debido a que la función está disminuyendo, los términos de la serie también están disminuyendo. (Recuerde que ignorar cualquier número de términos al principio de una serie no afecta si la serie converge o diverge o si la convergencia es condicional o absoluta; por eso está bien comenzar con x = 3 y n = 3.) Eso lo hace.converge por la prueba de series alternas.
  3. Puede ver que para n ≥ 3 la serie positiva, es mayor que la serie armónica divergente, por lo que la serie positiva diverge por la prueba de comparación directa. Así, la serie alternante es condicionalmente convergente.

Si la serie alterna no satisface el segundo requisito de la prueba de serie alterna, no se deduce que la serie difiera, sólo que esta prueba no muestre convergencia.

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