Cómo resolver integrales inapropiadas para funciones que tienen asíntotas verticales

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Usted resuelve integrales inadecuadas convirtiéndolas en problemas de límite. No puedes hacerlo de la forma habitual. A continuación se muestra cómo resolver las integrales incorrectas para funciones que tienen asíntotas verticales. Hay dos casos: una asíntota vertical puede estar en el borde del área en cuestión o en el centro de la misma.

Caso I: La función tiene una asíntota vertical en uno de los límites de la integración.

¿Cuál es el área bajo la cual

de 0 a 1? Esta función no está definida en x = 0, y tiene una asíntota vertical allí. Así que tienes que convertir la integral definitiva en un límite:

Esta área es infinita, lo que probablemente no te sorprenda porque la curva sube hasta el infinito. Pero agárrate al sombrero, a pesar de que la siguiente función también sube al infinito a x = 0, ¡su área es finita!

Encuentre el área en

de 0 a 1. Esta función tampoco está definida en x = 0, por lo que el proceso es el mismo que en el ejemplo anterior.

Convergencia y Divergencia: Usted dice que una integral incorrecta converge si el límite existe, es decir, si el límite es igual a un número finito como en el segundo ejemplo. De lo contrario, se dice que una integral incorrecta difiere – como en el primer ejemplo.

Caso II: La función tiene una asíntota vertical entre los límites de la integración

Si el punto no definido del integrando se encuentra en algún punto entre los límites de la integración, se divide la integral en dos – en el punto no definido – y luego se convierte cada integral en un límite y se pasa de allí.

Este integrando es indefinido a x = 0.

  1. Dividir la integral en dos en el punto no definido.
  2. Convierta cada integral en un límite y evalúe.

Tenga en cuenta que si no se da cuenta de que una integral tiene un punto indefinido entre los límites de la integración, y se integra de la manera ordinaria, puede que obtenga la respuesta equivocada. El problema anterior,

resulta que funciona bien si lo haces de la manera ordinaria. Sin embargo, si lo hace

de la manera ordinaria, no sólo obtienes la respuesta equivocada, sino que obtienes la respuesta totalmente absurda de negativo 2, a pesar del hecho de que la función es positiva de -1 a 1. La moraleja: No te arriesgues.

Si cualquiera de las partes de la integral dividida diverge, la integral original diverge. No se puede obtener, digamos, infinito negativo para una parte e infinito para la otra parte y sumarlas para obtener cero.

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