Cómo resolver integrales utilizando la integración por partes

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Por Mark Ryan

Puede pensar en la integración por partes como la versión de integración de la regla de producto para la diferenciación. La idea básica de la integración por partes es transformar una integral que no se puede hacer en un simple producto menos una integral que se puede hacer. Aquí está la fórmula:

Integración por fórmula de partes:

Y aquí hay una ayuda de memoria para ello: En los primeros dos trozos,

la u y la v están en orden alfabético. Si recuerdas eso, puedes recordar que la integral de la derecha es igual a la de la izquierda, excepto que la u y la v están invertidas.

No intentes entender la fórmula todavía. Verás cómo funciona en un minuto. Y no te preocupes por entender el primer ejemplo hasta que llegues al final del mismo. La integración por partes del proceso puede parecer bastante complicada la primera vez que lo haces, así que tienes que ser paciente. Después de trabajar con un par de ejemplos, verás que no es tan malo en absoluto.

La integración por caja de piezas: La fórmula de integración por partes contiene cuatro cosas: u, v, du y dv. Para ayudar a mantener todo en orden, organice sus problemas con una caja como la que se muestra aquí.

La integración por caja de piezas.

Para el primer ejemplo, intente

La fórmula de integración por partes convertirá esta integral, que no se puede hacer directamente, en un simple producto menos una integral que usted sabrá cómo hacer. Primero, tienes que dividir el integrand en dos partes – una parte se convierte en la u y la otra en el dv que ves en el lado izquierdo de la fórmula. Para este problema, el ln (x) se convertirá en su porción u. Entonces todo lo demás es el pedazo de dv, a saber

Después de reescribir el integrando anterior, tienes lo siguiente para el lado izquierdo de la fórmula:

Ahora es el momento de hacer lo de la caja. Para cada nuevo problema, usted debe dibujar una caja vacía de cuatro cuadrados, luego ponga su u (ln (x) en este problema) en el cuadrado superior izquierdo y su

en el cuadrado inferior derecho, como se muestra en la siguiente figura.

Rellenando la casilla.

Luego, usted diferencia u para obtener su du, e integra dv para obtener su v. Las flechas en la segunda figura le recuerdan que debe diferenciar a la izquierda e integrar a la derecha. Piense en la diferenciación -lo más fácil- como bajar (como bajar), y la integración -lo más difícil- como subir (como subir).

Ahora complete la caja:

La casilla cumplimentada para

se muestra en la siguiente figura.


La caja completa.

También puede utilizar el cuadro de cuatro cuadrados para recordar el lado derecho de la fórmula de integración por partes: comience en el cuadrado superior izquierdo y dibuje (o simplemente dibuje) un número 7 que vaya

directamente hacia la derecha y luego hacia abajo en diagonal hacia la izquierda, como se muestra en la siguiente figura.


Una caja con un 7. ¿Quién dice que el cálculo es ciencia espacial?

Recordando cómo”dibujas” el 7, mira hacia atrás a la figura anterior. El lado derecho de la fórmula de integración por partes le dice que haga la parte superior del 7, a saber

menos la integral de la parte diagonal del 7,

Por cierto, todo esto es mucho más fácil de hacer que de explicar. Inténtalo. Verá cómo este esquema de cuatro cuadros le ayuda a aprender la fórmula y a organizar estos problemas.

¿Listo para terminar? Enchufa todo en la fórmula:

En el último paso, se sustituye la

veces cualquier número viejo es sólo cualquier número viejo.

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