Cómo resolver problemas con el teorema de la altitud 0n-hipotenusa

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Por Mark Ryan

En un triángulo rectángulo, la altitud que es perpendicular a la hipotenusa tiene una propiedad especial: crea dos triángulos rectos más pequeños que son similares al triángulo rectángulo original.

Teorema de la altitud sobre la hipotenusa: Si se dibuja una altitud hacia la hipotenusa de un triángulo rectángulo como se muestra en la figura anterior, entonces

Note que las dos ecuaciones en la tercera parte del teorema son realmente una sola idea, no dos. Funciona exactamente de la misma manera en ambos lados del triángulo grande:

He aquí un problema: utilice la siguiente figura para responder a las siguientes preguntas.

  1. Si JL = 17 y KL = 15, ¿qué son JK, JM, ML y KM? JK es 8 porque tienes un triángulo 8-15-17 (o puedes obtener JK con el Teorema de Pitágoras). Ahora puedes encontrar JM y ML usando la tercera parte del Teorema de Altitud sobre Hipotenusa: (La solución ML se incluye sólo para mostrarte otro ejemplo del teorema, pero obviamente, hubiera sido más fácil obtener ML simplemente restando JM de JL.) Finalmente, usa la segunda parte del teorema (o el Teorema de Pitágoras, si prefieres) para obtener KM:
  2. Si ML = 16 y JK = 15, ¿qué es JM? establece JM igual a x; entonces usa la tercera parte del teorema. sabes que una longitud no puede ser -25, así que JM = 9. (Si tienes dificultad para ver cómo factorizar esto, puedes usar la fórmula cuadrática para obtener los valores de x en su lugar).

Al realizar un problema relacionado con un diagrama de altitud sobre hipotenusa, no suponga que debe utilizar la segunda o tercera parte del Teorema de altitud sobre hipotenusa. A veces, la manera más fácil de resolver el problema es con el Teorema de Pitágoras. Y en otras ocasiones, puede utilizar proporciones triangulares similares para resolver el problema.

El siguiente problema ilustra este consejo: Usa la siguiente figura para encontrar h, la altitud del triángulo ABC.

En sus marcas, listos, listos, ya. Primero consigue AC con el Teorema de Pitágoras o notando que tienes un triángulo en la familia 3 : 4 : 5 – es decir, un triángulo 9-12-15. Así que AC = 15. Entonces, aunque podría terminar con el Teorema de la altitud sobre la hipotenusa, pero ese enfoque es un poco complicado y llevaría algo de trabajo. En vez de eso, sólo usa una proporción de triángulo similar:

Finito.

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