Cómo resolver sistemas lineales mediante sustitución o eliminación

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Cuando se resuelven sistemas lineales, se dispone de dos métodos -sustitución o eliminación-, y el que se elija depende del problema. Si el coeficiente de cualquier variable es 1, lo que significa que puedes resolverlo fácilmente en términos de la otra variable, entonces la sustitución es una buena apuesta. Si todos los coeficientes son cualquier cosa menos 1, entonces puedes usar eliminación, pero sólo si las ecuaciones pueden sumarse para hacer que una de las variables desaparezca.

Cómo resolver sistemas lineales con el método de sustitución

En el método de sustitución, usas una ecuación para resolver una variable y luego sustituyes esa expresión por la otra ecuación para resolver la otra variable. Para comenzar de la manera más fácil, busque una variable con un coeficiente de 1 y resuelva el problema. Sólo tienes que sumar o restar términos para mover todo al otro lado del signo igual, tal y como harías normalmente para resolver variables. De esta manera, no tendrás que dividir por el coeficiente cuando estés resolviendo, lo que significa que no tendrás ninguna fracción (a menos que ya haya fracciones para empezar).

Por ejemplo, supongamos que usted dirige un teatro y necesita saber cuántos adultos y niños asisten a un espectáculo. El auditorio está agotado y contiene una mezcla de adultos y niños. Los boletos cuestan $23.00 por adulto y $15.00 por niño. Si el auditorio tiene 250 asientos y el ingreso total por entradas para el evento es de $4,846.00, ¿cuántos adultos y niños asistirán?

Para resolver el problema con el método de sustitución, siga estos pasos:

  1. Expresar el problema de la palabra como un sistema de ecuaciones y resolver para cuántas entradas de adultos (a) y de niños (c) vendiste. Si el auditorio tiene 250 asientos y se agotaron, la suma de las entradas de adultos y niños debe ser de 250. Los precios de las entradas también le llevan a los ingresos (o dinero ganado) del evento. El precio del boleto de adulto multiplicado por el número de adultos presentes te permite saber cuánto dinero ganaste con los adultos. Puede hacer el mismo cálculo con los billetes para niños. La suma de estos dos cálculos debe ser el ingreso total de entradas para el evento:
  2. Escoge la variable con un coeficiente de 1 si puedes, porque la resolución de esta variable será fácil. Para este ejemplo, puedes elegir resolver para a en la primera ecuación. Para hacerlo, reste c de ambos lados: a = 250 – c.
  3. Sustituye la variable resuelta por la otra ecuación, en este ejemplo, resuelves por una en la primera ecuación. Toma este valor (250 – c) y lo sustituye en la otra ecuación por a. (Asegúrate de que no lo sustituyes en la ecuación que usaste en el Paso 1; de lo contrario, estarás yendo en círculos.) La segunda ecuación ahora dice 23(250 – c) + 15c = 4,846.
  4. Se distribuye el número 23:5,750 – 23c + 15c = 4,846 Y luego se simplifica:5,750 – 8c = 4,846, o -8c = -904So c = 113. Un total de 113 niños asistieron al evento.
  5. Sustituye el valor de la variable desconocida en una de las ecuaciones originales para resolver la otra variable desconocida. 113 en la primera ecuación para c, obtienes un + 113 = 250. Resolviendo esta ecuación, obtienes un = 137. Vendiste un total de 137 entradas para adultos.
  6. Cuando conectas a y c en las ecuaciones originales, deberías obtener dos frases verdaderas. ¿ 137 + 113 = 250? Sí. ¿23(137) + 15(113) = 4.846? Ciertamente.

Cómo resolver sistemas lineales con el método de eliminación

Si resolver un sistema de dos ecuaciones con el método de sustitución resulta difícil o el sistema implica fracciones, el método de eliminación es la siguiente mejor opción. En el método de eliminación, se hace que una de las variables se cancele sumando las dos ecuaciones.

A veces tienes que multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes para sumar las ecuaciones; esta situación ocurre cuando no puedes eliminar una de las variables simplemente sumando las dos ecuaciones. (Recuerde que para que una variable sea eliminada, los coeficientes de una variable deben ser opuestos.)

Por ejemplo, los siguientes pasos muestran cómo resolver este sistema utilizando el proceso de eliminación:

  1. Reescribe las ecuaciones, si es necesario, para que las variables se alineen una debajo de la otra, el orden de las variables no importa; sólo asegúrate de que los términos similares se alineen con los términos similares de arriba a abajo. Las ecuaciones en este sistema ya tienen las variables x e y alineadas:
  2. Multiplica las ecuaciones por constantes para hacer que un conjunto de variables coincida con los coeficientes Primero, deja la ecuación superior sola y multiplica la ecuación inferior por 30 (para eliminar todos los denominadores). (Asegúrese de distribuir este número a cada término, incluso al otro lado del signo de igualdad). Hacer este paso te da las siguientes ecuaciones:
  3. Suma las dos ecuaciones. Ahora tienes -24y = -40.
  4. Resuelve la variable desconocida que queda.
  5. Este ejemplo utiliza la primera ecuación: 20x + 24(5/3) = 10.
  6. Resuelve para la última variable desconocida y termina con x = -3/2.
  7. Compruebe sus soluciones y verifique siempre su respuesta conectando las soluciones de nuevo al sistema original. Estos chequeos! 20(-3/2) + 24(5/3) = -30 + 40 = 10 ¡Funciona! Ahora comprueba la otra ecuación: Como ambos valores son soluciones para ambas ecuaciones, la solución para el sistema es correcta.

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