Cómo resolver sistemas lineales que tienen más de dos ecuaciones

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Cuando su instructor de pre-cálculo le pida que resuelva sistemas más grandes de ecuaciones lineales, estas ecuaciones involucrarán más de dos ecuaciones que van de la mano con más de dos variables. Puede escribir estos sistemas más grandes en la forma Ax + By + Cz +… = K donde todos los coeficientes (y K) son constantes. Estos sistemas lineales pueden tener muchas variables, y usted puede resolver esos sistemas siempre y cuando tenga una ecuación única por variable. En otras palabras, tres variables necesitan tres ecuaciones para encontrar una solución única, cuatro variables necesitan cuatro ecuaciones, y diez variables tendrían que tener diez ecuaciones, y así sucesivamente.

Para estos tipos de sistemas no lineales, las soluciones que usted puede encontrar varían ampliamente:

  • Puede que no encuentres una solución.
  • Usted puede encontrar una solución única.
  • Usted puede tener infinitamente muchas soluciones.

El número de soluciones que se encuentran depende de cómo interactúan las ecuaciones entre sí. Debido a que los sistemas lineales de tres variables describen ecuaciones de planos, no de líneas (como lo hacen las ecuaciones de dos variables), la solución al sistema depende de cómo se encuentran los planos en un espacio tridimensional relativo entre sí. Desafortunadamente, al igual que en los sistemas de ecuaciones con dos variables, no se puede decir cuántas soluciones tiene el sistema sin hacer el problema. Trate cada problema como si tuviera una solución, y si no la tiene, llegará a una afirmación que nunca es verdadera (sin soluciones) o siempre es verdadera (lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones).

Típicamente, debe utilizar el método de eliminación más de una vez para resolver sistemas con más de dos variables y dos ecuaciones.

Por ejemplo, suponga que un problema le pide que resuelva el siguiente sistema:

Para encontrar la(s) solución(es), siga estos pasos:

  1. Con la eliminación, usted quiere encontrar el múltiplo menos común (LCM) para los coeficientes de una de las variables, así que vaya con la que es más fácil. En este caso, debe eliminar la variable x.
  2. Separar dos de las ecuaciones y eliminar una variable, mientras que en las dos primeras ecuaciones hay que multiplicar la parte superior por -2 y sumarla a la segunda ecuación. Haciendo esto, obtienes la siguiente ecuación:
  3. Separa otras dos ecuaciones y elimina la misma variable, la primera y la tercera te permiten eliminar fácilmente x de nuevo. Multiplica la ecuación superior por 6 y súmala a la tercera ecuación para obtener la siguiente ecuación:
  4. Repite el proceso de eliminación con tus dos nuevas ecuaciones, ahora tienes estas dos ecuaciones con dos variables: Es necesario eliminar una de estas variables. Este ejemplo elimina la variable y multiplicando la ecuación superior por 4 y la inferior por 7 y luego sumando las ecuaciones. Esto es lo que te da ese paso:
  5. Resuelve la ecuación final para la variable que queda. 89z = -356, entonces z = -4.
  6. Sustituir el valor de la variable resuelta por una de las ecuaciones que tiene dos variables a resolver por otra, en este ejemplo se utiliza la ecuación -7y – 11z = 23. Sustituyendo, tienes -7y – 11(-4) = 23, lo que simplifica a -7y + 44 = 23. Ahora termina el trabajo: -7y = -21, y = 3.
  7. Este ejemplo utiliza la primera ecuación en el sistema original, que ahora se convierte en x + 2(3) + 3(-4) = -7. Simplifique para obtener su respuesta final: x + 6 – 12 = -7x – 6 = -7x = -1Las soluciones a esta ecuación son x = -1, y = 3, y z = -4.

Este proceso se llama sustitución de retorno porque literalmente resuelves una variable y luego trabajas hacia atrás para resolver las otras. En este último ejemplo, pasaste de la solución para una variable en una ecuación a dos variables en dos ecuaciones, al último paso con tres variables en tres ecuaciones. Siempre pase de lo más simple a lo más complicado.

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