Cómo resolver sistemas lineales

  1. Educación
  2. Matemáticas
  3. Pre-Cálculo
  4. Cómo resolver sistemas lineales

Cuando se resuelven sistemas con dos variables y por lo tanto con dos ecuaciones, las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales. Los sistemas lineales se expresan normalmente en la forma Ax + By = C, donde A, B y C son números reales.

Cuando se resuelven sistemas lineales, se dispone de dos métodos, y el que se elija depende del problema:

  • Si el coeficiente de cualquier variable es 1, lo que significa que puedes resolverlo fácilmente en términos de la otra variable, entonces la sustitución es una buena apuesta. Si usas este método, entonces no importa cómo se establezca cada ecuación.
  • Si todos los coeficientes son cualquier cosa menos 1, entonces puedes usar eliminación, pero sólo si las ecuaciones pueden sumarse para hacer que una de las variables desaparezca. Sin embargo, si usas este método, asegúrate de que todas las variables y el signo igual se alinean entre sí antes de sumar las ecuaciones.

Con el método de sustitución

En el método de sustitución, usas una ecuación para resolver una variable y luego sustituyes esa expresión por la otra ecuación para resolver la otra variable. Busca una variable con un coeficiente de 1 …. así sabrás por dónde empezar. Si el coeficiente de una variable es 1, entonces esa es la variable que debe resolverse porque la resolución de esa variable sólo implicará sumar o restar términos para mover todo al otro lado del signo igual. De esta manera, no tendrá que dividir por el coeficiente cuando esté resolviendo, lo que significa que no tendrá ninguna fracción.

Por ejemplo, supongamos que usted dirige un teatro y necesita saber cuántos adultos y niños asisten a un espectáculo. El auditorio está agotado y contiene una mezcla de adultos y niños. Los boletos cuestan $23.00 por adulto y $15.00 por niño. Si el auditorio tiene 250 asientos y el ingreso total por entradas para el evento es de $4,846.00, ¿cuántos adultos y niños asistirán?

Para resolver el problema con el método de sustitución, siga estos pasos:

  1. Puedes usar la información dada en la palabra problema para establecer dos ecuaciones diferentes. Desea resolver el número de entradas para adultos (a) y para niños (c) que vendió. Si el auditorio tiene 250 asientos y se agotaron, la suma de las entradas de adultos y niños debe ser de 250. Los precios de las entradas también le llevan a los ingresos (o dinero ganado) del evento. El precio del boleto de adulto multiplicado por el número de adultos presentes te permite saber cuánto dinero ganaste con los adultos. Puede hacer el mismo cálculo con los billetes para niños. La suma de estos dos cálculos debe ser el ingreso total de entradas para el evento:
  2. Escoge la variable con un coeficiente de 1 si puedes, porque la resolución de esta variable será fácil. Para este ejemplo, puedes elegir resolver para a en la primera ecuación. Para hacer esto, resta c de ambos lados: a = 250 – c.Siempre puedes mover cosas de un lado de una ecuación al otro, pero no caigas presa de la trampa de que 250 – c es 249c, como hacen algunas personas. Esos no son términos, así que no puedes combinarlos.
  3. Sustituye la variable resuelta por la otra ecuación, en este ejemplo, resuelves por una en la primera ecuación. Toma este valor (250 – c) y lo sustituye en la otra ecuación por a. (Asegúrate de que no lo sustituyes en la ecuación que usaste en el Paso 1; de lo contrario, estarás yendo en círculos.) La segunda ecuación ahora dice 23(250 – c) + 15c = 4,846.
  4. Cuando se distribuye el número 23, se obtienen 5.750 – 23c + 15c = 4.846. Cuando se simplifica esto, se obtienen 5.750 – 8c = 4.846, o -8c = -904. Entonces, c = 113. Un total de 113 niños asistieron al evento.
  5. Sustituir el valor de la variable desconocida en una de las ecuaciones originales para resolver la otra variable desconocida.No tienes que sustituir en una de las ecuaciones originales, pero tus respuestas tienden a ser más precisas si lo haces. 113 en la primera ecuación para c, obtienes un + 113 = 250. Resolviendo esta ecuación, obtienes un = 137. Vendiste un total de 137 entradas para adultos.
  6. Cuando conectas a y c en las ecuaciones originales, deberías obtener dos frases verdaderas. ¿ 137 + 113 = 250? Sí. ¿23(137) + 15(113) = 4.846? Ciertamente.

Con el proceso de eliminación

Si resolver un sistema de dos ecuaciones con el método de sustitución resulta difícil o el sistema implica fracciones, el método de eliminación es la siguiente mejor opción. En el método de eliminación, se hace que una de las variables se cancele sumando las dos ecuaciones.

A veces, tienes que multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes para sumar las ecuaciones; esta situación ocurre cuando no puedes eliminar una de las variables simplemente sumando las dos ecuaciones. (Recuerde que para que una variable sea eliminada, los coeficientes de una variable deben ser opuestos.)

Por ejemplo, los siguientes pasos le muestran cómo resolver el sistema

utilizando el proceso de eliminación:

  1. Reescribe las ecuaciones, si es necesario, para que las variables se alineen una debajo de la otra, el orden de las variables no importa; sólo asegúrate de que los términos similares se alineen con los términos similares de arriba a abajo. Las ecuaciones en este sistema ya tienen las variables x e y alineadas:
  2. Multiplica las ecuaciones por constantes para hacer que un conjunto de variables coincida con los coeficientes, decide qué variable quieres eliminar, digamos que decides eliminar las variables x, primero tienes que encontrar su múltiplo menos común. ¿En qué número entran el 20 y el 1/3? La respuesta es 60. Pero uno de ellos tiene que ser negativo para que cuando añadas las ecuaciones, los términos se cancelen (¡por eso se llama eliminación!). Multiplica la ecuación superior por -3 y la inferior por 180. (Asegúrese de distribuir este número a cada término, incluso al otro lado del signo de igualdad). Hacer esto le da lo siguiente:
  3. Suma las dos ecuaciones. Ahora tienes 72y = 120.
  4. Resuelve la variable desconocida que queda.
  5. Sustituye el valor de la variable encontrada en cualquier ecuación En este ejemplo, utilizas la primera ecuación:
  6. Resuelve la última variable desconocida. Terminas con
  7. Compruebe sus soluciones y verifique siempre su respuesta conectando las soluciones de nuevo al sistema original. Funciona! Ahora comprueba la otra ecuación: Como ambos valores son soluciones para ambas ecuaciones, la solución para el sistema es correcta.

Post A Comment

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *