Cómo resolver sistemas no lineales

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

En un sistema no lineal, al menos una ecuación tiene un gráfico que no es una recta, es decir, al menos una de las ecuaciones tiene que ser no lineal. Tu instructor de pre-cálculo te dirá que siempre puedes escribir una ecuación lineal en la forma Ax + By = C (donde A, B y C son números reales); un sistema no lineal está representado por cualquier otra forma. Ejemplos de ecuaciones no lineales incluyen, pero no se limitan a, cualquier sección cónica, polinomio de grado al menos 2, función racional, exponencial o logaritmo.

Cómo resolver un sistema no lineal cuando una ecuación en el sistema es no lineal

Si una ecuación en un sistema es no lineal, se puede utilizar la sustitución. En esta situación, puedes resolver para una variable en la ecuación lineal y sustituir esta expresión en la ecuación no lineal, ¡porque resolver para una variable en una ecuación lineal es pan comido! Y en cualquier momento que puedas resolver una variable fácilmente, puedes sustituir esa expresión en la otra ecuación para resolver la otra.

Por ejemplo, siga estos pasos para resolver este sistema:

  1. En este ejemplo, la ecuación superior es lineal. Si resuelves x, obtienes x = 3 + 4y.
  2. Cuando conectas 3 + 4y en la segunda ecuación para x, obtienes (3 + 4y)y = 6.
  3. Cuando distribuyes la variable y, obtienes 4y2 + 3y = 6. Debido a que esta ecuación es cuadrática, debes obtener 0 en un lado, así que resta los 6 de ambos lados para obtener 4y2 + 3y – 6 = 0. Tienes que usar la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación para y:
  4. Sustituye la(s) solución(es) en cualquier ecuación para resolver la otra variable, ya que encontraste dos soluciones para y, tienes que sustituirlas para obtener dos pares de coordenadas diferentes. Esto es lo que sucede cuando lo haces: Por lo tanto, obtienes las soluciones para el sistema:

Estas soluciones representan la intersección de la línea x – 4y = 3 y la función racional xy = 6.

Cómo resolver un sistema no lineal cuando ambas ecuaciones del sistema son no lineales

Si ambas ecuaciones en un sistema son no lineales, bueno, sólo tienes que ser más creativo para encontrar las soluciones. A menos que una variable sea elevada a la misma potencia en ambas ecuaciones, la eliminación está fuera de discusión. Resolver una de las variables de cualquiera de las ecuaciones no es necesariamente fácil, pero normalmente se puede hacer. Después de resolver para una variable, conecta esta expresión en la otra ecuación y resuelve para la otra variable tal como lo hiciste antes. A diferencia de los sistemas lineales, muchas operaciones pueden estar involucradas en la simplificación o resolución de estas ecuaciones. Sólo recuerde tener en cuenta su orden de operaciones en cada paso del camino.

Cuando ambas ecuaciones en un sistema son secciones cónicas, nunca encontrarás más de cuatro soluciones (a menos que las dos ecuaciones describan la misma sección cónica, en cuyo caso el sistema tiene un número infinito de soluciones – y por lo tanto es un sistema dependiente). Cuatro es el límite porque las secciones cónicas son todas curvas muy suaves sin esquinas agudas ni curvas locas, por lo que dos secciones cónicas diferentes no pueden intersecarse más de cuatro veces.

Por ejemplo, suponga que un problema le pide que resuelva el siguiente sistema:

¿Ese problema no hace que se te erice la piel? Pero no saques la loción de calamina todavía. Siga estos pasos para encontrar las soluciones:

  1. La segunda ecuación es atractiva porque todo lo que tienes que hacer es sumar 9 a ambos lados para obtener y + 9 = x2.
  2. Ahora tienes y + 9 + y2 = 9 – una ecuación cuadrática.
  3. Resuelve la ecuación cuadrática. resta 9 de ambos lados para obtener y + y2 = 0.Recuerda que no se te permite, nunca, dividir por una variable. debes factorizar el mayor factor común (GCF) en lugar de obtener y(1 + y) = 0. Usa la propiedad de producto cero para resolver para y = 0 e y = -1.
  4. Sustituir el valor(es) del Paso 3 en cualquiera de las ecuaciones para resolver la otra variable Este ejemplo utiliza la ecuación resuelta en el Paso 1. Cuando y es 0, 9 = x2, así que Cuando y es -1, 8 = x2, así que asegúrese de hacer un seguimiento de qué solución va con qué variable, porque tiene que expresar estas soluciones como puntos en un par de coordenadas. Sus respuestas son: Este conjunto de soluciones representa las intersecciones del círculo y la parábola dada por las ecuaciones en el sistema.

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