Cómo resolver sistemas que tienen más de dos ecuaciones

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Los sistemas más grandes de ecuaciones lineales involucran más de dos ecuaciones que van de la mano con más de dos variables. Estos sistemas más grandes se pueden escribir en la forma Ax + By + Cz +… = K donde todos los coeficientes (y K) son constantes. Estos sistemas lineales pueden tener muchas variables, y usted puede resolver esos sistemas siempre y cuando tenga una ecuación única por variable. En otras palabras, mientras que tres variables necesitan tres ecuaciones para encontrar una solución única, cuatro variables necesitan cuatro ecuaciones, y diez variables tendrían que tener diez ecuaciones, y así sucesivamente. No necesitas preocuparte por sistemas más grandes de ecuaciones no lineales. Eso sería demasiado complicado para el pre-cálculo, y los sistemas lineales más grandes son bastante complicados. Para este tipo de sistemas, las soluciones que usted puede encontrar varían ampliamente:

  • Puede que no encuentres una solución.
  • Usted puede encontrar una solución única.
  • Usted puede encontrar infinitamente muchas soluciones.

El número de soluciones que se encuentran depende de cómo interactúan las ecuaciones entre sí. Debido a que los sistemas lineales de tres variables describen ecuaciones de planos, no de líneas (como lo hacen las ecuaciones de dos variables), la solución al sistema depende de cómo se encuentran los planos en un espacio tridimensional relativo entre sí. Desafortunadamente, al igual que en los sistemas de ecuaciones con dos variables, no se puede decir cuántas soluciones tiene el sistema sin hacer el problema. Trate cada problema como si tuviera una solución, y si no la tiene, llegará a una afirmación que nunca es verdadera (sin soluciones) o siempre es verdadera (lo que significa que hay infinitas soluciones).

Típicamente, debe utilizar el método de eliminación más de una vez para resolver sistemas con más de dos variables y dos ecuaciones.

Por ejemplo, suponga que un problema le pide que resuelva el siguiente sistema:

Para encontrar la(s) solución(es), siga estos pasos:

  1. Con la eliminación, usted quiere encontrar el múltiplo menos común (LCM) para una de las variables, así que vaya con la que es más fácil. En este caso, debe eliminar la variable x.
  2. Separar dos de las ecuaciones y eliminar una variable, mientras que en las dos primeras ecuaciones hay que multiplicar la parte superior por -2 y sumarla a la segunda ecuación. Haciendo esto, obtienes lo siguiente:
  3. Separa otras dos ecuaciones y elimina la misma variable, la primera y la tercera te permiten eliminar fácilmente x de nuevo. Multiplica la ecuación superior por 6 y agrégala a la tercera ecuación para obtener lo siguiente:
  4. Repite el proceso de eliminación con tus dos nuevas ecuaciones, ahora deberías tener dos ecuaciones con dos variables: necesitas eliminar una de estas variables. En este ejemplo, eliminas la variable y multiplicando la ecuación superior por 4 y la inferior por 7 y luego sumando las ecuaciones. Esto es lo que eso te da:
  5. Resuelve la ecuación final para la variable que queda. 89z = -356, z = -4.
  6. Sustituye el valor de la variable resuelta por una de las ecuaciones que tiene dos variables que resolver por otra, en este ejemplo se usa la ecuación -7y – 11z = 23. Sustituyendo, tienes -7y – 11(-4) = 23, lo que simplifica a -7y + 44 = 23. Ahora termina el trabajo:
  7. En este ejemplo, se utiliza la primera ecuación en el sistema original, que ahora se convierte en x + 2(3) + 3(-4) = -7. Simplifique para obtener su respuesta final: Las soluciones a esta ecuación son x = -1, y = 3, y z = -4.

Este proceso se llama back-substitution porque literalmente resuelves una variable y luego trabajas hacia atrás para resolver las otras. En este ejemplo, se pasó de la solución para una variable en una ecuación a dos variables en dos ecuaciones hasta el último paso con tres variables en tres ecuaciones. . siempre se mueven de lo más simple a lo más complicado.

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