Cómo resolver un sistema de ecuaciones utilizando el inverso de una matriz

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Si tienes un coeficiente atado a una variable en un lado de la ecuación de la matriz, puedes multiplicarlo por el inverso del coeficiente para hacer que ese coeficiente desaparezca y te deje sólo con la variable. Por ejemplo, si 3x = 12, ¿cómo resolverías la ecuación? Dividirías ambos lados por 3, que es lo mismo que multiplicar por 1/3, para obtener x = 4. Así que va con las matrices.

En forma variable, una función inversa se escribe como f-1(x), donde f-1 es la inversa de la función f. Usted nombra una matriz inversa de manera similar; la inversa de la matriz A es A-1. Si A, B y C son matrices en la ecuación de matriz AB = C, y quieres resolver para B, ¿cómo lo haces? Simplemente multiplica por el inverso de la matriz A (si existe el inverso), que escribes así:

A-1[AB] = A-1C

Así que la versión simplificada es B = A-1C.

Ahora que has simplificado la ecuación básica, necesitas calcular la matriz inversa para calcular la respuesta al problema.

En primer lugar, debe establecer que sólo las matrices cuadradas tienen inversas – en otras palabras, el número de filas debe ser igual al número de columnas. Y aún así, no todas las matrices cuadradas tienen una inversa. Si el determinante de una matriz no es 0, entonces la matriz tiene un valor inverso.

Cuando una matriz tiene una inversa, hay varias maneras de encontrarla, dependiendo del tamaño de la matriz. Si la matriz es una matriz 2-x-2, entonces puede usar una fórmula simple para encontrar lo contrario. Sin embargo, para cualquier cosa más grande que 2 x 2, usted debe usar una calculadora gráfica o un programa de computadora (muchos sitios web pueden encontrar matrices inversas para usted’).

Si no utiliza una calculadora gráfica, puede aumentar su matriz original e invertible con la matriz de identidad y utilizar operaciones de fila elementales para obtener la matriz de identidad donde estaba su matriz original. Estos cálculos dejan la matriz inversa donde usted tenía la identidad originalmente. Este proceso, sin embargo, es más difícil.

Dicho esto, así es como se encuentra una matriz inversa de 2×2:

Si la matriz A es la matriz 2x-2

su inversa es la siguiente:

Simplemente siga este formato con cualquier matriz 2-x-2 que se le pida que encuentre.

Armado con un sistema de ecuaciones y el conocimiento de cómo utilizar matrices inversas, se pueden seguir una serie de pasos sencillos para llegar a una solución del sistema, de nuevo utilizando la confiable vieja matriz. Por ejemplo, puede resolver el sistema siguiente utilizando matrices inversas:

Estos pasos le muestran el camino:

  1. Escribir el sistema como una ecuación matricial, cuando se escribe como una ecuación matricial, se obtiene
  2. Cree el inverso de la matriz de coeficiente a partir de la ecuación de la matriz: En este caso, a = 4, b = 3, c = -10 y d = -2. Por lo tanto ad – bc = 22. Por lo tanto, la matriz inversa es
  3. Multiplique el inverso de la matriz de coeficiente en el frente a ambos lados de la ecuación y obtendrá la siguiente ecuación:
  4. Cancele la matriz de la izquierda y multiplique las matrices de la derecha. Te quedas con
  5. Multiplica el escalar para resolver el sistema y termina con los valores x e y:

Tenga en cuenta que multiplicar el escalar suele ser más fácil después de multiplicar las dos matrices.

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