Cómo resolver un triángulo cuando usted sabe dos longitudes laterales consecutivas (SSA)

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

En algunos problemas de trigonometría, se le pueden dar dos lados de un triángulo y un ángulo que no está entre ellos, que es el caso clásico de SSA, o ángulo lateral. En este escenario, puede haber una solución, dos soluciones o ninguna solución.

El mejor enfoque es asumir siempre que encontrarás dos soluciones, porque recordar todas las reglas que determinan el número de soluciones probablemente tomará demasiado tiempo y energía. Si usted trata cada problema de SSA como si tuviera dos soluciones hasta que reúna suficiente información para probar lo contrario, tendrá el doble de probabilidades de encontrar todas las soluciones apropiadas.

Ganar algo de experiencia en la resolución de un triángulo que tiene más de una solución es útil. El primer conjunto de soluciones que usted encuentra en una situación así siempre contiene un triángulo agudo. El segundo grupo de soluciones siempre contiene un triángulo obtuso.

Dos posibles representaciones de un triángulo del SSA.

Por ejemplo, digamos que se le da a = 16, c = 20, y

La figura a muestra el aspecto que puede tener la imagen. Sin embargo, ¿no podría el triángulo parecerse también a la Figura b? Ambas situaciones siguen las limitaciones de la información dada del triángulo. Si empiezas dibujando tu imagen con el ángulo dado, el lado al lado del ángulo tiene una longitud de 20, y el lado opuesto al ángulo tiene una longitud de 16 unidades. El triángulo se puede formar de dos maneras diferentes. El ángulo C podría ser un ángulo agudo o un ángulo obtuso; la información dada no es lo suficientemente restrictiva para decirle cuál es. Por lo tanto, hay que encontrar ambos conjuntos de soluciones.

Resolver este triángulo siguiendo los siguientes pasos le da las dos posibles soluciones que se muestran en la figura. Debido a que tienes dos ángulos faltantes, necesitas encontrar uno de ellos primero:

  1. Rellena la fórmula de la Ley de Sines con lo que sabes, dado que la fórmula de la Ley de Sines es así: la fórmula aquí se establece así:
  2. Ponga dos fracciones iguales entre sí de modo que sólo tenga una desconocida. digamos que decide resolver para el ángulo C. En este caso, ponga la primera y la tercera fracción iguales entre sí, y así tendrá esta ecuación:
  3. Multiplicar en cruz y aislar la función seno Este paso le da la opción de aislar la función seno:
  4. Tome el seno inverso de ambos lados, el lado derecho va directamente a su calculadora de mano para darle
  5. Determinar el tercer ángulo. Sabes que
  6. Vuelve a conectar el ángulo final a la fórmula de la Ley de Sines para encontrar el tercer lado:

Por supuesto, esta solución al triángulo no es la única. Refiérase al Paso 4, donde resolvió el ángulo C, y luego mire esta figura:

Los dos triángulos posibles que se superponenTriángulo

ABC es la solución que usted resolvió en estos pasos. Triangle AB’C’ es el segundo conjunto de soluciones que debe buscar. Una cierta identidad trigonométrica no se usa para resolver o simplificar expresiones trigonométricas porque no es útil para ellas, pero es útil para resolver triángulos. Esta identidad dice que

Sin embargo, si conecta sin-1(0.9319) en su calculadora para resolver el problema de theta, 68.27 grados es la única solución que obtiene. Restar este valor de 180 grados le da la otra solución ambigua para el ángulo C, el cual es usualmente denotado como ángulo C’ para que no lo confunda con la primera solución.

Los siguientes pasos se basan en estas acciones para que pueda encontrar todas las soluciones para este problema de SSA:

  1. Utilice la identidad trigonométrica
  2. Para encontrar el segundo ángulo del segundo triángulo, reste este valor de 180 grados para encontrar que
  3. Halla la medida del tercer ángulo, porque los tres ángulos deben sumar 180 grados

.

  1. Conecte estos valores de ángulo en la fórmula de la Ley de los Senos.
  • Establece una fracción con un numerador desconocido y la fracción con un numerador conocido igual entre sí en la fórmula. Establezca la primera fracción igual a la segunda:
  • Aislar b’ para obtener esta solución:
  • Enumere todas las respuestas a los dos triángulos (vea la lista numerada anterior) Originalmente, se le dio que a = 16, c = 20, y el ángulo A = 48 grados. Las respuestas que encontraste son las siguientes: Primer triángulo. Segundo triángulo.
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