Cómo resolver una ecuación de disparo que tiene múltiples funciones de trigonometría

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Por Mary Jane Sterling

Algunas ecuaciones de trigonometría contienen más de una función trigonométrica. Otros tienen mezclas de múltiples ángulos y ángulos simples con la misma variable. Algunos ejemplos de tales ecuaciones incluyen 3cos2x = sin2x, 2sec x = tan x + cot x, cos 2x + cos x + 1 = 0, y sin x cos x = 1/2.

Para obtener estas ecuaciones en formas más manejables de modo que puedas usar factoraje u otro método para resolverlas, usas identidades para sustituir algunos o todos los términos. Por ejemplo, para resolver 3cos2x = sin2x para todos los ángulos entre 0 y 2π, aplicar una identidad pitagórica.

  1. Reemplazar el término sin2x con su equivalente de la identidad pitagórica, sin2x + cos2x = 1 o sin2x = 1 – cos2x.3cos2x = 1 – cos2x
  2. Añade cos2x a cada lado y simplifica la división.
  3. Tome la raíz cuadrada de cada lado.
  4. Resuelve para los valores de x que satisfacen la ecuación.

En el siguiente ejemplo, se empieza con tres funciones de trigonometría diferentes. Una buena táctica es reemplazar cada función usando ya sea una identidad de proporción o una identidad recíproca. El uso de estas identidades crea fracciones, y las fracciones requieren denominadores comunes.

Por cierto, tener fracciones en las ecuaciones de trigonometría es bueno, porque los productos que resultan de multiplicar y hacer fracciones equivalentes son usualmente partes de identidades que puedes sustituir para hacer la expresión mucho más simple. Resuelve 2seg x = bronceado x + cuna x para todas las soluciones posibles en grados.

  1. Reemplace cada término con su respectiva identidad recíproca o de razón.
  2. Reescribe las fracciones con el denominador común sin x cos x.Multiplica cada término por una fracción que sea igual a 1, con seno o coseno tanto en el numerador como en el denominador.
  3. Suma las dos fracciones de la derecha. Luego, usando la identidad pitagórica, reemplaza el nuevo numerador por 1.
  4. Establece la ecuación igual a 0 restando el término correcto de cada lado.
  5. Si el numerador es igual a 0, entonces toda la fracción es igual a 0. No se debe permitir que el denominador sea igual a 0 – tal número no existe.
  6. Resuelve para los valores de x que satisfacen la ecuación original.

En el siguiente ejemplo, dos ángulos diferentes están en juego. Un ángulo es el doble del tamaño del otro, por lo que se utiliza una identidad de doble ángulo para reducir los términos a funciones de un solo ángulo. El truco es elegir la versión correcta de la identidad de doble ángulo del coseno.

Resuelve cos 2x + cos x + 1 = 0 para x entre 0 y 2p.

  1. Reemplazar cos 2x por 2cos2x – 1.2cos2x- 1 + cos x + 1 = 0Esta versión de la identidad de doble ángulo del coseno es preferible porque la otra función trigonométrica en la ecuación ya tiene un coseno en ella.
  2. Simplifica la ecuación. Entonces factoriza el cos x.
  3. Ponga cada factor igual a 0.
  4. Resuelve para los valores de x que satisfacen la ecuación original.

Este último ejemplo puede ser engañosamente simple. El problema es que hay que reconocer una identidad de doble ángulo por adelantado y hacer un cambio rápido.

  1. Utiliza la identidad sinusoidal de doble ángulo para crear una sustitución de la expresión de la izquierda, comenzando con la identidad y multiplicando cada lado por 1/2.
  2. Reemplaza la expresión a la izquierda de la ecuación original con su equivalente de la identidad de doble ángulo.
  3. Multiplica cada lado de la ecuación por 2.
  4. Reescribir la expresión como una función inversa.2x = sin-1(1)
  5. Determine qué ángulos dentro de dos rotaciones satisfacen la expresión.2x = sin-1(1) = 90°, 450°Usted usa dos rotaciones porque el coeficiente de x es 2.
  6. Divide cada término por 2. Observa que los ángulos resultantes están entre 0 y 360 grados.

Puede generalizar la técnica de doble ángulo a partir del ejemplo anterior para otras expresiones de ángulo múltiple.

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