Cómo resolver una ecuación de trigonometría mediante factoraje cuadrático

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Por Mary Jane Sterling

Las ecuaciones cuadráticas son agradables de trabajar porque, cuando no tienen factor, puedes resolverlas usando la fórmula cuadrática. Los tipos de ecuaciones cuadráticas de trigonometría que se pueden factorizar son las siguientes: tan2x = tan2x, 4cos2x – 3 = 0, 2sin2x + 5sin x – 3 = 0, y csc2x + csc x – 2 = 0. Fíjese que todas ellas tienen la función de trigonometría reveladora elevada al segundo grado. Los siguientes ejemplos le muestran cómo manejarlos.

Los dos primeros ejemplos tienen sólo dos términos. Uno tiene dos términos variables, y el otro sólo tiene un término variable. En el primer ejemplo, se ponen ambos términos a la izquierda y luego se factoriza la variable o el término trigonométrico.

Resolver tan2x = tan x para los valores de x tales que 0 x

  1. Mueve el término de la derecha a la izquierda restándolo de ambos lados.tan2x – tan x = 0No lo dividas por tan x. Perderás soluciones.
  2. Factor out tan x.tanx (tan x – 1) = 0
  3. Ajustar cada uno de los dos factores igual a 0.tan x = 0 o tan x – 1 = 0
  4. Resuelve para los valores de x que satisfacen ambas ecuaciones Si tan x = 0, entonces x = tan-1(0) = 0, .

En el siguiente ejemplo, el binomio no se factoriza fácilmente como la diferencia de dos cuadrados, porque el 3 no es un cuadrado perfecto, y hay que usar un radical en la factorización. Una manera agradable y eficiente de resolver esta ecuación es mover los 3 a la derecha y tomar la raíz cuadrada de cada lado.

Resuelva para todas las soluciones posibles de 4cos2x – 3 = 0 en grados.

  1. Mueve el número a la derecha sumando 3 a cada lado.4cos2x = 3
  2. Divide cada lado por 4, y luego toma la raíz cuadrada de cada lado para resolver cos x.
  3. Resuelve las dos ecuaciones para los valores de x.Cuando consideras todos los múltiplos de 360 grados sumados a los cuatro ángulos de base, encuentras que esta ecuación tiene muchas y muchas soluciones.

Los siguientes dos ejemplos involucran el uso de un-FOIL – una técnica para determinar el producto del cual dos binomios le dan un trinomio cuadrático en particular. Algunas veces, cuando el patrón en el trinomio está oscurecido, es posible que desee sustituir primero alguna otra variable de la función trigonométrica para ayudar a averiguar cómo factorizarla. En este ejemplo, lo hará para resolver 2sin2x + 5sin x – 3 = 0 para todos los valores de x entre 0 y 360 grados.

  1. Reemplazar cada sin x con y.2y2 + 5y – 3 = 0
  2. Factorizar el trinomio como el producto de dos binomios(2y – 1)(y + 3) = 0
  3. Reemplazar cada y con sin x.(2sin x – 1)(sin x + 3) = 0
  4. Ajustar cada factor a 0.2sin x – 1 = 0 o sin x + 3 = 0
  5. Si sin x + 3 = 0, sin x = -3, entonces x = sin-1(-3). Este resultado es absurdo, porque la función seno sólo produce valores entre -1 y 1 – por lo que este factor no produce ninguna solución. Las dos únicas soluciones son 30 y 150 grados.

El siguiente ejemplo es bastante fácil, pero implica una función recíproca. Resuelve csc2x + csc x – 2 = 0 para cualquier ángulo entre 0 y 2p radianes.

  1. Factorizar el trinomio cuadrático en el producto de dos binomios (csc x + 2)(csc x – 1) = 0
  2. Poner cada factor igual a 0.csc x + 2 = 0 o csc x – 1 = 0
  3. Una forma alternativa de tratar estas dos ecuaciones binomiales es cambiarlas usando la identidad recíproca y escribiendo el recíproco del número. Para la primera ecuación, cambiarías de cosecante a seno: Haga lo mismo para la segunda ecuación: csc x – 1 = 0, csc x = 1, sin x = 1. Entonces resolverías las ecuaciones inversas.

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