Cómo resolver una ecuación exponencial tomando el registro de ambos lados

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

A veces no se pueden expresar ambos lados de una ecuación exponencial como potencias de la misma base. Al enfrentarte a ese problema, puedes hacer que el exponente desaparezca tomando el registro de ambos lados. Por ejemplo, supongamos que se le pide que resuelva 43x – 1 = 11. Ningún entero con la potencia de 4 te da 11, así que tienes que usar la siguiente técnica:

  1. Puede tomar el registro de ambos lados, pero recuerde que en realidad necesita resolver la ecuación con este registro, por lo que debe hacerlo sólo con registros comunes o naturales.
  2. Este paso te da (3x – 1)log 4 = log 11.
  3. Divide ambos lados por el registro apropiado para aislar la variable.
  4. Resuelve para la variable. Tomando los registros te da

En este problema, tuviste que usar la regla de potencia sólo en un lado de la ecuación porque la variable apareció sólo en un lado. Cuando tienes que usar la regla de poder en ambos lados, las ecuaciones pueden ser un poco complicadas. Pero con persistencia, puedes entenderlo. Por ejemplo, para resolver 52 – x = 33x + 2, siga estos pasos:

  1. Al igual que con el problema anterior, debe utilizar un registro común o un registro natural. Si usas un registro natural, obtienes ln 52 – x= ln 33x + 2.
  2. Usa la regla de poder para desplegar ambos exponentes, ¡no olvides incluir tus paréntesis! Obtienes (2 – x)ln 5 = (3x + 2)ln 3.
  3. Distribuya los logs sobre el interior del paréntesis, este paso le da 2ln 5 – xln 5 = 3xln 3 + 2ln 3.
  4. Aísle las variables de un lado y mueva todo lo demás al otro sumando o restando. 2ln 5 – 2ln 3 = 3xln 3 + xln 5.
  5. Factoriza la variable x de todos los términos apropiados, lo que te deja con 2ln 5 – 2ln 3 = x(3ln 3 + ln 5).
  6. Divide la cantidad entre paréntesis de ambos lados para resolver x.Esto equivale aproximadamente a 0.208.

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