Cómo resolver una prueba analítica con álgebra

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Por Mark Ryan

Cuando se resuelve una prueba analítica, esto implica el uso del álgebra. Puede utilizar pruebas analíticas para probar diferentes propiedades; por ejemplo, puede probar la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se bisectan entre sí, o que las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes.

Antes de resolver una prueba, es útil dibujar su figura en el sistema de coordenadas y etiquetar sus vértices. Luego puedes concentrarte en usar álgebra para probar algo sobre la figura.

La siguiente prueba analítica le guiará a través de este proceso: Primero, probar analíticamente que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo recto es equidistante de los tres vértices del triángulo, y luego mostrar analíticamente que la mediana de este punto medio divide el triángulo en dos triángulos de igual área.

Empiezas con un dibujo.

Después de completar su dibujo, está listo para hacer la parte algebraica de la prueba. La primera parte del problema te pide que demuestres que el punto medio de la hipotenusa es equidistante de los vértices del triángulo. Para hacerlo, comience por determinar el punto medio de la hipotenusa:

La siguiente figura muestra el punto medio, M, y la mediana, línea PM.

Para probar la equidistancia de M a P, Q y R, se utiliza la fórmula de distancia:

Estas distancias son iguales, y eso completa la parte de equidistancia de la prueba.

Para la segunda parte de la prueba, debe demostrar que el segmento que va desde el ángulo recto hasta el punto medio de la hipotenusa divide el triángulo en dos triángulos con áreas iguales; en otras palabras, debe demostrar que

Para calcular estas áreas, es necesario conocer las longitudes de la base y la altitud de ambos triángulos. La siguiente figura muestra las altitudes de los triángulos.

Note que debido a que la línea base PR del triángulo PMR es horizontal, la altitud dibujada a esa base (línea TM) es vertical, y por lo tanto usted sabe que T está directamente debajo (a, b) en (a, 0). Con el triángulo PQM (utilizando la base vertical PQ), se crea la altitud horizontal SM y se localiza el punto S directamente a la izquierda de (a, b) en (0, b).

Ahora está listo para usar las dos bases y las dos altitudes para mostrar que los triángulos tienen áreas iguales. Para obtener las longitudes de las bases y altitudes, puedes usar la fórmula de distancia, pero no es necesario porque puedes usar el siguiente atajo para distancias horizontales y verticales:

Es hora de terminar con la fórmula del área del triángulo:

Las áreas son iguales. Eso es todo.

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