Cómo usar el cálculo con la opción del consumidor en la economía empresarial

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Por Robert J. Graham

Puede utilizar el cálculo y la función de Lagrange en la economía de gestión para maximizar la utilidad. Recuerde, la utilidad es la cantidad de satisfacción que un individuo recibe al consumir un bien.

Cómo medir la indiferencia del consumidor

La indiferencia existe cuando la cantidad de utilidad que un cliente recibe en una situación es exactamente igual a la cantidad de utilidad que el cliente recibe en otra situación. Las curvas de indiferencia se pueden describir mediante funciones. Por ejemplo

muestra la relación entre la cantidad consumida del bien x, la cantidad consumida del bien y y y la utilidad total.

Cómo medir los factores limitantes

Una vez más, los consumidores se enfrentan a una restricción de presupuesto. Por ejemplo, un consumidor tiene un presupuesto semanal de $400 para los bienes x e y. El precio del bien x es $10 y el precio del bien y es $8. La restricción del presupuesto es

donde x e y son las cantidades consumidas de cada mercancía.

Los lagrangianos pueden hacerte feliz

Usted reconocerá esto como un problema de optimización restringido – el consumidor está tratando de maximizar la utilidad, sujeto a una restricción de presupuesto. Esta situación es ideal para un lagrangiano.

El consumidor quiere maximizar la utilidad, sujeto a la restricción de presupuesto, basado en las funciones de Lagrange. Los pasos a seguir para determinar la cantidad de x e y que maximizan la utilidad son los siguientes:

  1. Cree una función lagrangiana. Reconozca que la variable que está tratando de maximizar es la utilidad total. Por lo tanto, su función objetivo es 8×0.5y0.5. En segundo lugar, su restricción está representada por el presupuesto 400 – 10x – 8y = 0. Su función de Lagrange Â’ es
  2. Tome la derivada parcial del lagrangiano con respecto a x e y, las mercancías que está consumiendo, y póngalas a cero. Estas ecuaciones aseguran que se maximice la utilidad total.
  3. Tome la derivada parcial de la función de Lagrange con respecto a ë y póngala igual a cero. Esta derivación parcial asegura que se satisface la restricción del presupuesto.

Resolver los tres derivados parciales simultáneamente para las variables x, y, y, y λ maximiza la utilidad total, sujeto a la restricción de presupuesto.

Reescribir la derivada parcial de Β’ con respecto a x le permite resolver para λ.

Sustituyendo la ecuación anterior por λ en la derivada parcial de Β’ con respecto a los rendimientos de y

Así que

Finalmente, sustituyendo 0.8y por x en la restricción (la derivada parcial de Β’ con respecto a λ) produce

Por lo tanto, usted debe consumir 25 unidades del bien y.

Anteriormente se determinó x = 0.8y.

Por último, usted puede resolver para λ.

Por lo tanto, la combinación de 20 unidades del bien x y 25 unidades del bien y maximiza la utilidad total dada la restricción del presupuesto.

Además, λ es igual a 0,447. Lambda es un atajo impresionante. La mayoría de las decisiones se ven afectadas por limitaciones, pero éstas no son necesariamente absolutas. A menudo, una restricción puede variar un poco. Lambda, el multiplicador lagrangiano, le muestra el impacto que tiene el cambio de la restricción en la función objetivo.

Específicamente, si cambias la restricción una unidad, lambda indica cuánto cambiará la variable que estás optimizando. Así, en el ejemplo, si sus ingresos aumentan en $1 (usted cambia la restricción en una unidad), su utilidad total aumenta en 0.447 utils.

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