Cómo usar el método de Shell para medir el volumen de un sólido

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Por Mark Zegarelli

El método shell permite medir el volumen de un sólido midiendo el volumen de muchas superficies concéntricas del volumen, llamadas «shells». Aunque el método de cáscara funciona sólo para sólidos con secciones transversales circulares, es ideal para sólidos de revolución alrededor del eje y, ya que no es necesario utilizar funciones inversas.

Así es como funciona:

  1. Encuentra una expresión que represente el área de una concha aleatoria del sólido en términos de x.
  2. Use esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) que represente el volumen del sólido.
  3. Evaluar esta integral.

Puede usar una lata de sopa – o cualquier otra lata que tenga una etiqueta de papel – como una ayuda visual práctica para comprender cómo funciona el método de la concha. Para empezar, ve a la despensa y trae una lata de sopa.

Suponga que su lata de sopa es de tamaño industrial, con un radio de 3 pulgadas y una altura de 8 pulgadas. Puede utilizar la fórmula de un cilindro para calcular su volumen de la siguiente manera:

V = Ab – h = 32π – 8 = 72π

También puede utilizar el método de shell, que se muestra aquí.

Quitar la etiqueta de una lata de sopa puede ayudarle a entender el método de la concha.

Para entender el método de la cáscara, corte la etiqueta de papel de la lata verticalmente y retírela cuidadosamente de la lata, como se muestra en la figura. (De paso, tómese un momento para leer la etiqueta para que no se quede con la «sopa misteriosa».)

Note que la etiqueta es simplemente un rectángulo. Su lado más corto es igual en longitud a la altura de la lata (8 pulgadas) y su lado más largo es igual a la circunferencia (2π – 3 pulgadas = 6π pulgadas). Así que el área de este rectángulo es 48π pulgadas cuadradas.

Aquí está el paso crucial: Imagínese que toda la lata está compuesta por infinitas etiquetas enrolladas concéntricamente una alrededor de la otra, hasta el centro de la lata. El área de cada uno de estos rectángulos es:

A = 2πx – 8 = 16πx

La variable x en este caso es cualquier radio posible, desde 0 (el radio del círculo en el centro mismo de la lata) hasta 3 (el radio del círculo en el borde exterior). Así es como se utiliza el método de la cáscara, paso a paso, para encontrar el volumen de la lata:

  1. Busca una expresión que represente el área de una shell aleatoria de la lata (en términos de x):A = 2πx – 8 = 16πx
  2. Use esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) que represente el volumen de la lata. recuerde que con el método shell, usted está sumando todos los shells desde el centro (donde el radio es 0) hasta el borde exterior (donde el radio es 3). Así que usa estos números como los límites de la integración:
  3. Evalúe esta integral: Ahora evalúe esta expresión:= 8π (3)2 – 0 = 72πThe El método shell verifica que el volumen de la lata es 72π pulgadas cúbicas.

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