Cómo usar la Eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

La eliminación gaussiana es probablemente el mejor método para resolver sistemas de ecuaciones si no tienes una calculadora gráfica o un programa de computadora que te ayude.

Los objetivos de la eliminación gaussiana son hacer que el elemento de la esquina superior izquierda sea un 1, usar operaciones de fila elemental para obtener 0s en todas las posiciones debajo de ese primer 1, obtener 1s para los coeficientes principales en cada fila diagonalmente desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, y obtener 0s debajo de todos los coeficientes principales. Básicamente, eliminas todas las variables de la última fila excepto una, todas las variables excepto dos de la ecuación anterior, y así sucesivamente hasta la ecuación superior, que tiene todas las variables. Luego puedes usar la sustitución inversa para resolver una variable a la vez conectando los valores que conoces a las ecuaciones de abajo hacia arriba.

Esta eliminación se logra eliminando la x (o cualquier variable que venga primero) en todas las ecuaciones excepto en la primera. Luego elimina la segunda variable en todas las ecuaciones excepto en las dos primeras. Este proceso continúa, eliminando una variable más por línea, hasta que sólo queda una variable en la última línea. Entonces resuelve esa variable.

Se pueden realizar tres operaciones sobre matrices para eliminar variables en un sistema de ecuaciones lineales:

  • Puede multiplicar cualquier fila por una constante (que no sea cero).multiplica la fila tres por -2 para obtener una nueva fila tres.
  • Puede cambiar dos filas cualesquiera: una y dos.
  • Puede añadir dos filas juntas. Añade las filas uno y dos y lo escribe en la fila dos.

Incluso puede realizar más de una operación. Puede multiplicar una fila por una constante y luego añadirla a otra fila para cambiarla. Por ejemplo, puede multiplicar la fila uno por 3 y luego añadirla a la fila dos para crear una nueva fila dos:

Considere la siguiente matriz aumentada:

Ahora echemos un vistazo a los objetivos de la eliminación gaussiana para completar los siguientes pasos para resolver esta matriz:

  1. Completa el primer objetivo: conseguir 1 en la esquina superior izquierda, ¡ya lo tienes!
  2. Completa el segundo objetivo: poner 0s debajo del 1 en la primera columna, necesitas usar el combo de dos operaciones de matriz juntas aquí. Aquí está lo que debes preguntar: «¿Qué necesito añadir a la fila dos para que un 2 se convierta en un 0?» La respuesta es -2.Este paso se puede lograr multiplicando la primera fila por -2 y añadiendo la fila resultante a la segunda fila. En otras palabras, se realiza la operación que produce esta nueva línea: (-2 -4 -6 : 14) + (2 -3 -5 -5 : 9) = (0 -7 -11: 23) Ahora tiene esta matriz:
  3. En la tercera fila, obtenga un 0 bajo el 1. Para hacer este paso, necesita la operación Con este cálculo, ahora debería tener la siguiente matriz:
  4. Para hacer este paso, necesita multiplicar por una constante; en otras palabras, multiplique la fila dos por el recíproco apropiado: Este cálculo produce una nueva segunda fila:
  5. Obtenga un 0 debajo del 1 que creó en la fila 2. Vuelva a la vieja y buena operación combinada de la tercera fila: Aquí hay otra versión de la matriz:
  6. Multiplica la tercera fila por el recíproco del coeficiente para obtener un 1: Has completado la diagonal principal después de hacer las matemáticas:

Ahora tiene una matriz en forma de escalón de fila, que le da las soluciones cuando utiliza la sustitución de espalda (la última fila implica que 0x + 0y + 1z = 4, o z = -4). Sin embargo, si desea saber cómo llevar esta matriz a una forma de escalón de filas reducido para encontrar las soluciones, siga estos pasos:

  1. Multiplicando la fila tres por la constante -11/7 y luego sumando las filas dos y tres se obtiene la siguiente matriz:
  2. Ponga un 0 en la fila uno, columna tres.La operación le proporciona la siguiente matriz:
  3. Obtenga un 0 en la fila uno, columna dos. Finalmente, la operación le da esta matriz:

Esta matriz, en forma de escalón de filas reducido, es en realidad la solución para el sistema: x = -1, y = 3, y z = -4.

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