Cómo usar la prueba de comparación de límites para determinar si una serie converge

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La idea detrás de la prueba de comparación de límites es que si se toma una serie convergente conocida y se multiplica cada uno de sus términos por un número, entonces también convergen las nuevas series. Y no importa si el multiplicador es, digamos, 100, o 10.000, o 1/10.000 porque cualquier número, grande o pequeño, multiplicado por la suma finita de la serie original sigue siendo un número finito. Lo mismo ocurre con una serie divergente multiplicada por cualquier número. Esa nueva serie también diverge porque cualquier número, grande o pequeño, veces infinito es todavía infinito. Esto está demasiado simplificado -sólo en el límite de que una serie es una especie de múltiplo de la otra- pero transmite el principio básico.

Usted puede descubrir si existe tal conexión entre dos series observando la relación entre los términos n de las dos series a medida que n se acerca al infinito. Aquí está la prueba.

Prueba de comparación de límites: Para dos series,

donde L es finito y positivo, ambas series convergen o ambas divergen.

Esta es una buena prueba para usar cuando no puede usar la prueba de comparación directa para su serie porque va en la dirección equivocada – en otras palabras, su serie es más grande que una serie convergente conocida o más pequeña que una serie divergente conocida.

Aquí hay un ejemplo: ¿Él o ella

¿convergencia o divergencia? Esta serie se asemeja a la serie p convergente

así que ese es tu punto de referencia. Pero no puedes usar la prueba de comparación directa porque los términos de tu serie son más grandes que

En su lugar, se utiliza la prueba de comparación de límites.

Tome el límite del ratio de la enésima parte de los términos de las dos series. No importa qué serie pongas en el numerador y cuál en el denominador, pero si pones la serie de referencia conocida en el denominador, esto hace que sea un poco más fácil hacer estos problemas y captar los resultados.

Debido a que el límite es finito y positivo, y debido a que la serie de referencia converge, su serie también debe converger.

Así,

converge.

Probemos con otro ejemplo. Determinar la convergencia o divergencia de

La prueba de comparación de límites es buena para series, como ésta, en la que el término general es una función racional, es decir, donde el término general es un cociente de dos polinomios.

  1. Determine la serie de referencia, tome el poder más alto de n en el numerador y el denominador – ignorando cualquier coeficiente y todos los demás términos – y luego simplifique. Así: La serie de referencia es, por tanto, la serie armónica divergente.
  2. Tome el límite del ratio de la enésima parte de los términos de las dos series.
  3. Debido a que el límite del Paso 2 es finito y positivo, y debido a que la serie de referencia difiere, su serie también debe divergir.

Contrariamente a la definición formal de la Prueba de Comparación de Límites (al principio de este artículo), el límite, L, no tiene que ser finito y positivo para que la prueba funcione. Primero, si la serie de referencia es convergente, y la pones en el denominador del límite, y el límite es cero, entonces tu serie también debe converger. Si el límite es el infinito, no se puede concluir nada. Y segundo, si la serie de referencia es divergente, y la pones en el denominador, y el límite es infinito, entonces tu serie también debe ser divergente. Si el límite es cero, no se aprende nada.

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