Cómo usar las ecuaciones de círculo en la geometría de coordenadas

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Por Mark Ryan

Puede aplicar ecuaciones y álgebra (es decir, usar métodos analíticos) a los círculos que están posicionados en el sistema de coordenadas x-y. Por ejemplo, hay una buena conexión analítica entre la ecuación del círculo y la fórmula de la distancia porque cada punto de un círculo está a la misma distancia de su centro.

Aquí están las ecuaciones del círculo:

  • Círculo centrado en el origen, (0, 0),x2 + y2 = r2donde r es el radio del círculo.
  • Círculo centrado en cualquier punto (h, k),(x – h)2 + (y – k)2 = r2donde (h, k) es el centro del círculo y r es su radio (como usted recordará de un curso de álgebra, parece hacia atrás, pero restar cualquier número positivo h de x realmente mueve el círculo a la derecha, y restar cualquier número positivo k de y mueve el círculo hacia arriba; sumar un número a x mueve el círculo a la izquierda, y sumar un número positivo a y mueve el círculo hacia abajo).

Ahora, intenta un problema de círculo:

Aquí está el diagrama de prueba.

  1. Todo lo que necesitas para la ecuación de un círculo es su centro (lo sabes) y su radio. El radio del círculo es sólo la distancia desde su centro a cualquier punto del círculo. Ya que el punto de tangencia está dado, ese es el punto a usar. A saber -Ahora terminas conectando las coordenadas del centro y el radio en la ecuación del círculo general:
  2. Encuentra las intersecciones x e y del círculo. Para encontrar las intersecciones x para cualquier ecuación, simplemente enchufa 0 para y y y resuelve x:No puedes cuadrar algo y obtener un número negativo, así que esta ecuación no tiene solución; por lo tanto, el círculo no tiene intersecciones x. (Por supuesto, puedes mirar la figura y ver que el círculo no se cruza con el eje x, pero es bueno saber cómo la matemática lo confirma.) Para encontrar las intersecciones y, conecta 0 para x y resuelve para y :Así, las intersecciones y del círculo son (0, 3) y (0, 9).
  3. Para la ecuación de una recta, necesitas un punto (lo tienes) y la pendiente de la recta. Una línea tangente es perpendicular a un radio trazado hasta el punto de tangencia. Así que calcula la pendiente del radio, y luego el recíproco opuesto es la pendiente de la línea tangente: Ahora conecta esta pendiente y las coordenadas del punto de tangencia en la forma punto-pendiente para la ecuación de una recta: Ahora limpia esto un poco:

Por supuesto, si en su lugar decide poner esto en forma de intercepción de pendiente, usted obtiene

Cambio y fuera.

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