Cómo usar las identidades de sustracción en un problema de trigonometría

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Por Mary Jane Sterling

Puede encontrar valores de función de ángulos utilizando identidades de adición de ángulos. Y tienes más posibilidades de encontrar los valores de las funciones de los ángulos cuando usas la resta en un problema de trigonometría. Por ejemplo, puede determinar el seno de 15 grados utilizando 45 grados y 30 grados y los valores de función e identidad apropiados.

Las identidades de resta, o diferencia, encuentran la función para la diferencia entre los ángulos α y β:

Observa cómo cada una de las identidades de sustracción se asemeja a su correspondiente identidad de suma angular. Para la regla sinusoidal, el signo entre los dos productos cambió de + a -, lo que parece tener sentido. Lo contrario es cierto para el coseno. La regla de suma para el coseno tiene – en él, y la regla de resta (o diferencia) tiene + en él. La regla tangente tiene tanto + como – en ella; la operación en el numerador refleja el tipo de identidad.

Sólo las tres funciones trigonométricas originales tienen identidades de diferencia realmente utilizables – las identidades para las funciones recíprocas son bastante complicadas. Si quieres la diferencia de una función recíproca, tu mejor apuesta es usar la identidad básica correspondiente y encontrar la respuesta recíproca de la respuesta numérica después de que hayas terminado.

Para ver una de las identidades de resta en acción, mira el siguiente ejemplo, que muestra cómo puedes encontrar el seno de 15 grados.

  1. Determine dos ángulos con una diferencia de 15 grados, para mantener las cosas simples, use 45 y 30.
  2. Sustituir los ángulos de la identidad por el seno de una diferencia.
  3. Reemplace los términos con los valores de función y simplifique la respuesta.

Usar radianes introduce fracciones a la imagen, como encontrar tan π/12 usando la identidad para la tangente de una diferencia.

  1. Determine qué ángulos necesita para obtener la diferencia.
  2. Sustituir los ángulos de la identidad por la tangente de una diferencia.
  3. Reemplace los términos con los valores de las funciones y simplifique la respuesta. Puedes simplificarlo aún más multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado (mismos términos, signo diferente) del denominador y simplificando el resultado:

El siguiente ejemplo utiliza la identidad del coseno de una diferencia junto con el ángulo que mide 0 grados para determinar una identidad de ángulo opuesto. Muestra lo versátiles y fáciles de usar que son las identidades de trigonometría, y cómo se llevan tan bien entre sí.

En este ejemplo, busque

usando la identidad para la diferencia entre ángulos.

  1. Determine qué ángulos necesita para obtener la diferencia. usando 0 y π/3 y restando con el 0 primero da un resultado negativo:
  2. Sustituir los ángulos de la identidad por el coseno de una diferencia.
  3. Sustituya los ángulos por los valores de las funciones y simplifique la respuesta, que es exactamente lo que obtendrá si utiliza la identidad de ángulo opuesto para el coseno:

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