Cómo usar las raíces de un polinomio para encontrar sus factores

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

El teorema de los factores establece que se puede ir y venir entre las raíces de un polinomio y los factores de un polinomio. En otras palabras, si conoces a uno, conoces al otro. A veces, su profesor o su libro de texto pueden pedirle que factorice un polinomio con un grado superior a dos. Si puedes encontrar sus raíces, puedes encontrar sus factores.

En símbolos, el teorema del factor establece que si x – c es un factor del polinomio f(x), entonces f(c) = 0. La variable c es un cero o una raíz o una solución – como quieras llamarlo (todos los términos significan lo mismo).

Aquí hay un ejemplo. Digamos que tienes que buscar las raíces del polinomio f(x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48. Encontrará que son x = -1/2, x = -3, y x = 4 (multiplicidad dos). ¿Cómo se usan esas raíces para encontrar los factores del polinomio?

El teorema del factor establece que si x = c es una raíz, (x – c) es un factor. Por ejemplo, mire las siguientes raíces:

  • Si x = -1/2, (x – (-1/2)) es su factor, que usted escribe como (x + 1/2).
  • Si x = -3 es una raíz, (x – (-3)) es un factor, que se escribe como (x + 3).
  • Si x = 4 es una raíz, (x – 4) es un factor con multiplicidad dos.

Ahora puede calcular f(x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48 para obtener f(x) = 2(x + 1/2)(x + 3)(x – 4)2. Observe que 2 es un factor porque 2 es el coeficiente principal (el coeficiente del término con el exponente más alto).

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