Cómo usar los fáseres para el análisis de circuitos

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Por John Santiago

Un fasor es un número complejo en forma polar que se puede aplicar al análisis de circuitos. Cuando se traza la amplitud y el desplazamiento de fase de un sinusoide en un plano complejo, se forma un vector de fase o un fáser.

Como recordará de la clase de álgebra, un número complejo consiste en una parte real y una parte imaginaria. Para el análisis de circuitos, piense en la parte real como enlazando con resistencias que se deshacen de energía como calor y en la parte imaginaria como relacionada con la energía almacenada, como la que se encuentra en los inductores y condensadores.

También se puede pensar en un fasor como un vector rotativo. A diferencia de un vector que tiene magnitud y dirección, un fasor tiene magnitud VA y desplazamiento angular ϕ Se mide el desplazamiento angular en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje x positivo.

Aquí hay un diagrama de un fasor de voltaje como un vector rotativo en alguna frecuencia, con su cola en el origen. Si necesitas sumar o restar fasores, puedes convertir el vector en su componente x (VA cos ϕ) y su componente y (VA sin ϕ) con algo de trigonometría.

Las siguientes secciones explican cómo encontrar las diferentes formas de fáseres e introducen las propiedades de los fáseres.

Encontrar formas de fasor

Los fasores, que usted describe con números complejos, encarnan la amplitud y la fase de una tensión o corriente sinusoidal. La fase es el desplazamiento angular de la sinusoide, que corresponde a un desplazamiento temporal t0. Así que si tienes cos[ω(t – t0)], entonces ωt0 = ϕO, donde ϕO es el desplazamiento angular de fase.

Para establecer una conexión entre los números complejos y las ondas seno y coseno, se necesita el complejo exponencial ejθ y la fórmula de Euler:

dónde

El lado izquierdo de la fórmula de Euler es la forma de fasor polar, y el lado derecho es la forma de fasor rectangular. Puede escribir el coseno y el seno como se indica a continuación:

En las ecuaciones mostradas aquí, Re[ ] denota la parte real de un número complejo, e Im[ ] denota la parte imaginaria de un número complejo.

Aquí hay una función de coseno y una función de coseno desplazado con un desplazamiento de fase de π/2.

En general, para los sinusoides mostrados aquí, tienes una amplitud VA, una frecuencia de radiación ω, y un desplazamiento de fase de ϕ dado por la siguiente expresión:

Debido a que la frecuencia del radián ω sigue siendo la misma en un circuito lineal, un fasor sólo necesita la amplitud VA y la fase ϕ para entrar en forma polar:

Para describir un fasor, sólo se necesita la amplitud y el desplazamiento de fase (no la frecuencia del radián). Usando la fórmula de Euler, la forma rectangular del fáser es

Examinar las propiedades de los fáseres

Una de las propiedades clave de los fasores es la propiedad aditiva. Si se añaden sinusoides que tienen la misma frecuencia, entonces el fáser resultante es simplemente la suma vectorial de los fáseres – igual que la suma de vectores:

Para que esta ecuación funcione, los fáseres V1, V2, ….,VN deben tener la misma frecuencia. Esta propiedad le resultará útil cuando utilice las leyes de Kirchhoff.

Otra propiedad vital de los fáseres es la derivada del tiempo. La derivada temporal de una onda sinusoidal es otra onda sinusoidal escalada con la misma frecuencia. Tomando el derivado de los fáseres es una multiplicación algebraica de en el dominio de los fáseres. Primero, relacionas el fáser de la onda sinusoidal original con el fáser del derivado:

Pero el derivado de un exponencial complejo es otro exponencial multiplicado por

Basado en la definición del fasor, la cantidad (jωV) es el fasor de la derivada temporal de un fasor V de onda sinusoidal. Reescriba el phasor jωV como

Cuando se toma la derivada, se multiplica la amplitud VA por ω y se desplaza el ángulo de fase por 90o, o de forma equivalente, se multiplica la onda sinusoidal original por ¿Ves cómo el número imaginario j rota un fáser en 90o?

Trabajar con condensadores e inductores involucra a los derivados porque las cosas cambian con el tiempo. Para los condensadores, qué tan rápido cambia la tensión de un condensador dirige la corriente del condensador. En el caso de los inductores, la rapidez con la que cambia la corriente del inductor controla la tensión del inductor.

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