Cómo usar los Kets, el Conjugado Hermitiano y la Notación de Bra-ket

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Por Steven Holzner

¿Qué tienen en común la notación de Dirac y el conjugado hermitiano? Ayudan a los físicos a describir vectores muy, muy grandes. En la mayoría de los problemas de la física cuántica, los vectores pueden ser infinitamente grandes – por ejemplo, una partícula en movimiento puede estar en un número infinito de estados. Manejar grandes conjuntos de estados no es fácil usando notación vectorial, así que en lugar de escribir explícitamente el vector completo cada vez, la física cuántica suele usar la notación desarrollada por el físico Paul Dirac – el Dirac o notación de frenado.

Abreviando vectores de estado como kets

La notación de Dirac abrevia el vector del estado como un ket, así:

Por ejemplo, si estuvieras tratando de encontrar las probabilidades de lo que un par de dados tirados probablemente mostraría, podrías escribir el vector de estado como un ket de esta manera:

Aquí, los componentes del vector de estado están representados por números. Más comúnmente, sin embargo, cada componente representa una función, algo así:

Puede utilizar funciones como componentes de un vector de estado siempre que sean funciones linealmente independientes (y por lo tanto pueden ser tratadas como ejes independientes en el espacio Hilbert). En general, un conjunto de vectores

en el espacio Hilbert es linealmente independiente si la única solución a la siguiente ecuación es que todos los coeficientes ai = 0:

Es decir, mientras no se pueda escribir ningún vector como una combinación lineal de los otros, los vectores son linealmente independientes y por lo tanto forman una base válida en el espacio Hilbert.

Escribir el conjugado hermitiano como un sujetador

Para cada cometa, hay un sostén correspondiente. Un sostén es el conjugado hermitiano del ket correspondiente.

Suponga que empieza con esta mascota:

El símbolo del asterisco (*) en la siguiente ecuación significa el complejo conjugado. (Un conjugado complejo invierte el signo que conecta las partes reales e imaginarias de un número complejo.) Así que el sostén correspondiente, que escribes como

El sostén es este vector de fila:

Ten en cuenta que si alguno de los elementos del ket son números complejos, tendrás que tomar su complejo conjugado al crear el sujetador asociado. Por ejemplo, si tu número complejo en el ket es un + bi, su complejo conjugado en el sujetador es un – bi.

Multiplicando los sostenes y las botas

Usted puede tomar el producto de su ket y sujetador, denotado como

de esta manera:

Esto es sólo multiplicación de matriz, y el resultado es el mismo que tomar la suma de los cuadrados de los elementos:

Y así es como debe ser, porque la probabilidad total debe sumar 1. Por lo tanto, en general, el producto del sujetador y el ket es igual a 1:

Si esta relación se mantiene, el ket

se dice que está normalizado.

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