Cómo usar operadores de creación y aniquilación para resolver problemas de osciladores armónicos

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Por Steven Holzner

La creación y la aniquilación pueden sonar como grandes ideas que hacen o rompen el universo, pero juegan un papel estelar en el mundo cuántico cuando se trabaja con osciladores armónicos. Se utilizan los operadores de creación y aniquilación para resolver problemas de osciladores armónicos porque hacerlo es una forma inteligente de manejar la ecuación de Hamilton más dura. Esto es lo que hacen estos dos operadores:

  • Operador de creación. El operador de creación eleva el nivel de energía de un estado propio en un nivel, así que si el oscilador armónico está en el cuarto nivel de energía, el operador de creación lo eleva al quinto nivel.
  • Operador de aniquilación. El operador de aniquilación hace lo contrario, bajando cada uno de los dos niveles.

Estos operadores hacen que sea más fácil resolver el espectro de energía sin tener que resolver mucho trabajo para los propios estados. En otras palabras, puedes entender todo el espectro de energía observando la diferencia de energía entre los propios estados.

Así es como la gente normalmente resuelve el espectro de energía. Primero, se introducen dos nuevos operadores, p y q, que no tienen dimensión; se relacionan con el operador P (momentum) de esta manera:

Se utilizan estos dos nuevos operadores, p y q, como base del operador de aniquilación, a, y del operador de creación,

Ahora puedes escribir el oscilador armónico Hamiltonian así, en términos de

En cuanto a la creación de nuevos operadores aquí, los físicos cuánticos se volvieron locos, incluso dando un nombre a

Así que así es como puedes escribir el Hamiltonian:

El operador N devuelve el número del nivel de energía del oscilador armónico. Si denota los propios estados de N como

donde n es el número del enésimo estado:

entonces comparando las dos ecuaciones anteriores, tienes

Sorprendentemente, eso te da los valores propios de energía del enésimo estado de un oscilador armónico cuántico mecánico. Así que aquí están los estados de energía:

  • La energía del estado del suelo corresponde a n = 0:
  • El primer estado de excitación es
  • El segundo estado excitado tiene una energía de

Y así sucesivamente. Es decir, los niveles de energía son discretos y no degenerados (no compartidos por dos estados). Así, el espectro de energía se compone de bandas equidistantes.

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