Cómo usar un ángulo de referencia para encontrar ángulos de solución

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

En el pre-cálculo, se utilizan funciones trigonométricas para resolver ecuaciones algebraicas. Cuando encuentras el valor del ángulo en una ecuación, que es el ángulo que es una solución a la ecuación, lo usas como ángulo de referencia para encontrar otros ángulos en el círculo unitario que también serán soluciones a la ecuación. Usualmente puedes encontrar dos, pero puedes encontrar ninguno, uno, o más de dos.

Puedes usar tu conocimiento de las funciones trigonométricas para hacer una conjetura educada sobre cuántas soluciones puede tener una ecuación. Si los valores de seno o coseno son mayores que 1 o menores que -1, por ejemplo, la ecuación no tiene soluciones.

Recuerda: Theta Prime,

es el nombre dado al ángulo de referencia, y theta,

es la solución real a la ecuación, por lo que puedes encontrar soluciones usando las siguientes reglas de cuadrante, como se muestra en la figura:

Encontrar el ángulo de la solución, dado el ángulo de referencia.

Cuando ves una ecuación de trigonometría que te pide resolver para un ángulo desconocido, retrocedes desde lo que se te ha dado para llegar a una solución que tiene sentido. Esta solución debe ser en forma de una medición de ángulo, y la ubicación del ángulo debe estar en el cuadrante correcto. El conocimiento del círculo unitario es útil aquí porque estarás pensando en ángulos que cumplan con los requisitos de la ecuación dada.

Suponga que se le pide que resuelva 2 cos x = 1. Para resolverlo, necesitas pensar en qué ángulos del círculo unitario tienen valores de coseno que son iguales a 1 cuando se multiplican por 2. Sigue estos pasos:

  1. Aislar la función trigonométrica en un lado, se resuelve para cos x dividiendo ambos lados por 2: cos x = 1/2.
  2. Teniendo en cuenta que el coseno es un valor x, dibujas cuatro triángulos – uno en cada cuadrante – con las patas del eje x marcadas con 1/2 o -1/2. La siguiente figura muestra estos cuatro triángulos, los dos triángulos de la izquierda tienen un valor de -1/2 para la pata horizontal, no de 1/2. Por lo tanto, puede eliminarlos. Sus soluciones están en los cuadrantes I y IV. estos cuatro triángulos le ayudan a localizar las soluciones.
  3. Rellene los valores de los tramos que faltan para cada triángulo y ya ha marcado los tramos del eje x. Basado en el conocimiento del círculo unitario y de los triángulos especiales, usted sabe que el lado paralelo al eje y tiene que ser y que la hipotenusa es 1. La siguiente figura muestra los dos triángulos etiquetados. Los dos triángulos de solución en el círculo de la unidad.
  4. En los triángulos rectos especiales, una longitud lateral de 1/2 es la pata corta de un triángulo recto de 30-60-90 grados. Por lo tanto, el coseno (o la parte a lo largo del eje x) es la pierna corta y la pierna vertical es la pierna larga. Así que el vértice del ángulo en el centro del círculo unitario tiene una medida de 60 grados, haciendo que el ángulo de referencia
  5. El ángulo de referencia es la primera solución de cuadrante es la misma que el ángulo de referencia: La solución del cuarto cuadrante es

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