Cómo usar un derivado parcial para medir una pendiente en tres dimensiones

  1. Educación
  2. Matemáticas
  3. Cálculo
  4. Cómo usar un derivado parcial para medir una pendiente en tres dimensiones

Libro Relacionado

Por Mark Zegarelli

Puede utilizar una derivada parcial para medir una tasa de cambio en una dirección de coordenadas en tres dimensiones. Para hacer esto, se visualiza una función de dos variables z = f(x,y) como una superficie flotando sobre el plano xy-de un gráfico cartesiano tridimensional. La siguiente figura contiene una función de ejemplo.

Ahora eche un vistazo a la función z = y, que se muestra aquí.

Como puede ver, esta función se parece mucho al techo inclinado de una casa. Imagínense parados en esta superficie. Cuando camina en paralelo con el eje y, su altitud sube o baja. En otras palabras, a medida que el valor de y cambia, también lo hace el valor de z. Pero cuando caminas en paralelo con el eje x, tu altitud sigue siendo la misma; cambiar el valor de x no tiene efecto sobre z.

Así que intuitivamente, esperas que la derivada parcial

es 1. También se espera que la derivada parcial

es 0.

El cálculo de derivados parciales no es mucho más difícil que la evaluación de derivados regulares. Dada una función z(x,y), los dos derivados parciales son

Así es como se calculan:

  • Para calcular
  • trata a y como una constante y usa x como tu variable de diferenciación.
  • Para calcular
  • trata x como una constante y usa y como tu variable de diferenciación.

Por ejemplo, supongamos que te dan la ecuación z = 5x2y3. Para encontrar

tratar y como si fuera una constante – es decir, tratar todo el factor 5y3 como si fuera una gran constante – y diferenciar x2:

Para encontrar

tratar x como si fuera una constante – es decir, tratar 5×2 como si fuera la constante – y diferenciar y3:

Como otro ejemplo, supongamos que se te da la ecuación z = 2exsin y + ln x. Para encontrar

tratar y como si fuera una constante y diferenciar por la variable x:

Para encontrar

tratar x como si fuera una constante y diferenciar por la variable y:

Como puede ver, al diferenciar por y, el término ln x se trata como una constante y se desvanece por completo.

Volviendo al ejemplo anterior – la función «tejado inclinado» z = y – aquí hay dos derivados parciales de esta función:

Como puede ver, este cálculo produce los resultados previstos.

Leave a Reply

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *